Задача к ЕГЭ на тему «Кубические уравнения» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите корни уравнения. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

3 2 x − 21x + 111x − 91 = 0

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней $x = 1.$ Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(x − 1)$ при помощи деления столбиком:

x3 − 21x2 + 111x − 91| x − 1 x3 − x2 |-x2 −-20x-+91 ----− 20x2 + 111x | − 20x2 + 20x | --------91x-− 91 | 91x − 91 | ------0- |

Значит,

x3 − 21x2 + 111x − 91 = (x− 1)(x2 − 20x+ 91)

Второй множитель также можно разложить в произведение линейных. Для этого находим корни уравнения $x2 − 20x + 91 = 0.$ Его корни $x1 = 7$ и $x2 = 13.$ Теперь разложение принимает окончательный вид:

x3 − 21x2 + 111x− 91 = (x2 − 20x + 91)(x − 1) = (x− 7)(x− 13)(x − 1)

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: $x1 = 13,$ $x2 = 7$ и $x3 = 1$ – подходят по ОДЗ. Больший из них $x = 13.$