Задача к ЕГЭ на тему «Кубические уравнения» №12

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите корни уравнения. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите произведение тех из них, которые меньше 0.

3 2 3x + 8x − 17x− 42 = 0

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней $x = − 2.$ Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(x + 2)$ при помощи деления столбиком:

3x3 + 8x2 − 17x− 42 | x+ 2 3x3 + 6x2 |--3x2 +-2x-− 21 ------2x2 − 17x | 2x2 + 4x | ---−-21x− 42 | − 21x− 42 | --------0 |

Тогда

3x3 + 8x2 − 17x− 42 = (3x2 + 2x− 21)(x + 2)

Выражение $3x2 + 2x − 21$ можно разложить на множители, найдя корни уравнения $3x2 + 2x− 21 = 0.$ Корни $x1 = − 3$ и $x2 = 73,$ тогда окончательно

( ) 3x3 + 8x2 − 17x− 42 = 3(x + 2)(x + 3) x − 7 3

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения:

x1 = − 2, x2 = − 3, x3 = 7 3

– подходят по ОДЗ. Произведение отрицательных корней равно $− 2⋅(− 3) = 6.$