Задача к ЕГЭ на тему «Кубические уравнения» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите корни уравнения $2x3− 11x2+8x +21 = 0.$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите сумму тех из них, которые больше 0.

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней $x= − 1.$ Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(x + 1)$ при помощи деления столбиком:

2x3 − 11x2+ 8x+ 21 | x +1 2x3 + 2x2 |-2x2− 13x-+21 ---−13x2+ 8x | −13x2−-13x- | 21x+ 21 | 21x+-21 | 0

Значит,

2x3− 11x2+ 8x+ 21= (2x2− 13x +21)(x+ 1)

Выражение $2 2x − 13x + 21$ можно разложить на множители, найдя корни уравнения $2 2x − 13x +21 =0.$ Корни $x1 =3,$ $x =3,5, 2$ тогда окончательно

2x3− 11x2+ 8x+ 21= 2(x − 3)(x− 3,5)(x+ 1)

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: $x1 = 3,$ $x2 = 3,5$ и $x3 = −1$ – подходят по ОДЗ. Сумма больших 0 равна $3 +3,5 =6,5.$