Задача к ЕГЭ на тему «Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда» №3

Просмотров 8 Комментарии 0

Дан куб $ABCDA1B1C1D1$ . $A2$ – середина стороны $AA1$ , $D2$ – середина стороны $DD1$ , $√4-- AA1 = 5$ . Найдите площадь плоскости сечения, проходящей через точки $A2$ , $D2$ и $B1$ .

$PIC$

$PIC$

$A2D2C1B1$ – фигура сечения куба. $A2D2$ – параллельна $AD$ и $A1D1$ , т.к. соединяет середины $AA1$ и $DD1$ , поэтому перпендикулярна граням $AA1B1B$ и $DD1C1C$ $⇒$ перпендикулярна $A2B1$ и $D C 2 1$ . $B C ||A D 1 1 1 1$ $⇒$ $B C ||A D 1 1 2 2$ $⇒$ $A D C B 2 2 1 1$ – прямоугольник.

√-- 1 4√5-- A2D2 = AD = AA1 = 45, A2A1 = -AA1 = ---; 2 2

$A2B1$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $△A2A1B1$ :

√ -- √ -- 2 2 2 √ -- --5- 5--5- A2B 1 = A2A 1 + A1B 1 = 5 + 4 = 4

$⇒$ $√ -4√ -- A B = --5--5- 2 1 2$ . Найдем площадь фигуры сечения:

√ --√-- 4√-- 5 45 5 Sфиг.сеч. = A2D2 ⋅ A2B1 = 5 ⋅-------= --= 2,5. 2 2

Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда