Задача к ЕГЭ на тему «Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ : точки $M$ , $N$ , $L$ , $K$ лежат соответственно на ребрах $AA1$ , $DD1$ , $D1C1$ и $A1B1$ , причем $A1M : M A = D1N : N D = 3 : 2$ , $A1K : KB1 = D1L : LC1 = 4 : 1$ . Найдите площадь $KLN M$ , если $AB = 3$ .

$PIC$

$PIC$

$3 3 A1M = -AA1 = -DD1 = D1N 5 5$ ; $A1M ||D1N$ , т.к. $AA1 ||DD1$ $⇒$ $M A1D1N$ – параллелограмм $⇒$ $M N ||A1D1$ , $M N = A1D1$ . Аналогичным образом получается, что $KL ||A1D1$ и $KL = A1D1$ $⇒$ $KLN M$ – параллелограмм, а т.к. $A1D1$ перпендикулярна граням $AA1B1B$ и $DD1C1C$ , то и $M N$ и $KL$ перпендикулярны этим же граням $⇒$ $KLN M$ – прямоугольник. Чтобы найти площадь этого прямоугольника, найдем сперва сторону $M K$ из прямоугольного треугольника $△M A1K$ , используя теорему Пифагора.