Задача к ЕГЭ на тему «Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ точки $A2$ и $B2$ – середины соответственно сторон $AA1$ и $BB1$ . Найдите площадь поверхности фигуры $ABCDA2B2C1D1$ , если ребро куба равно $∘ -------√--- 32 − 4 5$ .

$PIC$

Площадь поверхности фигуры $ABCDA2B2C1D1$ состоит из суммы следующих площадей:

Sпов. = SAA2D1D + SBB2C1C + SDD1C1C + SAA2B2B + SABCD + SA2B2C1D1.

Обозначим ребро куба за $2x$ , тогда $AA2 = BB2 = x$ . $AA2D1D$ и $BB2C1C$ – равные прямоугольные трапеции, площадь которых равна

SAA D D = SBB CC = 1-⋅ (AA2 + DD1 ) ⋅ AD = (x-+-2x)-⋅ 2x-= 3x2. 2 1 2 1 2 2

Также найдем площади остальных граней: $S = 4x2 DD1C1C$ , $S = 2x2 AA2B2B$ , $S = 4x2 ABCD$ ; для того чтобы найти площадь грани $A2B2C1D1$ нам понадобится сначала найти сторону $A2D1$ . Найдем ее, используя теорему Пифагора в треугольнике $△A2A1D1$ :

2 2 2 2 2 2 A2D 1 = A2A 1 + A1D 1 = x + 4x = 5x

$⇒$ $√ -- A2D1 = 5x$ . Тогда $√ -- 2 SA2B2C1D1 = A2B2 ⋅ A2D1 = 2 5x$ . Теперь сложим все площади граней искомой фигуры:

2 2 2 2 2 √ --2 √ -- 2 Sпов. = 3x + 3x + 4x + 2x + 4x + 2 5x = (16 + 2 5) ⋅ x .

По условию задачи имеем: $2x = ∘32--−--4√5-= 2 ⋅ ∘8-−-√5--$ $⇒$ $x = ∘8 -−--√5-$ . Подставим в формулу площади и получим окончательный результат:

( ∘ -------)2 √ -- √ -- √ -- √ -- S пов. = (16 + 2 5) ⋅ 8 − 5 = 2 ⋅ (8 + 5) ⋅ (8 − 5) = 2 ⋅ 59 = 118.