Задача к ЕГЭ на тему «Конус» №3

Просмотров 4 Комментарии 0

Радиусы оснований усечённого конуса равны $r = 4√-2√--- 2 π$ и $R = √410√--, 2 π$ а угол между его образующей и основанием равен $∘ 45 .$ Найдите площадь боковой поверхности этого усечённого конуса.

Обозначим центры оснований усечённого конуса через $A$ и $E,$ так что $A$ — центр большего основания. Отметим на большем основании точку $C,$ а точку меньшего основания, через которую проходит образующая, выходящая из $C,$ обозначим через $D.$

$PIC$

Высота $AE$ и образующая $CD$ лежат в одной плоскости. Обозначим точку их пересечения за $B.$

Так как $AE$ — высота, то $AE ⊥ CD$ и $AE ⊥AC.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BAC.$

В нём $∠BCA = 45∘,$ тогда имеем:

10 AB = R = √42-√π- √ - BC = R√2 = 1√0--2. 4 2√π-

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BED.$

Так как $∘ ∠EBD = 45 ,$ то имеем:

BE =r = 4√-2√--- 2 π √- 2√2 BD = r 2 = 4√2√-π.

Тогда получаем

EA = AB − BE = R− r √- √- √- DC = BC − BD = R 2− r 2 = 2(R− r) Sбок = π(R + r)⋅I.

Здесь $I$ — образующая.

Тогда искомая площадь равна

√ - Sбок = π(R +r)⋅ 2(R − r) = √ - √ - ( ) = 2π(R2 − r2)= 2π √100 −√-4- = 96. 2π 2π