Задача к ЕГЭ на тему «Комбинированные тела: их объемы и площади поверхностей» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

Песочные часы состоят из двух одинаковых усеченных конусов, плоскости оснований которых параллельны. Высота песочных часов $H = 16$ . Радиус окружности, являющейся пересечением боковых поверхностей конусов, равен $1$ . Тангенс половины угла раствора каждого конуса равен $1 2$ . Найдите объем песочных часов $V$ , умноженный на $3 π$ .

$PIC$

Выберем какое-нибудь сечение конусов плоскостью $α$ , проходящей через их общую ось вращения.

$PIC$

На рисунке в плоскости $α$ : $DI$ – ось вращения конусов, отрезок $DI$ совпадает с высотой песочных часов и равен $16$ . Отрезки $CD$ и $DE$ являются радиусами окружности, лежащей в верхнем основании фигуры, а отрезки $BO$ и $OF$ являются радиусами окружности пересечения конусов, поэтому $BO = OF = 1$ . Угол раствора конуса $∠CKE$ делится пополам осью вращения на равные углы $∠CKD$ и $∠DKE$ , поэтому $tg∠CKD = tg∠DKE = 12$ . Рассмотрим $△CKD$ и $△BKO$ . Плоскости оснований конусов и плоскость, содержащая окружность пересечения конусов, параллельны друг другу $⇒$ рассматриваемая плоскость сечения $α$ будет пересекать эти плоскости по прямым, параллельным друг другу $⇒$ $CD ||BO$ $⇒$ $△CKD$ и $△BKO$ подобны друг другу $⇒$ $CD- KD- BO = KO$ . Ось вращения перпендикулярна плоскостям оснований и плоскости пересечения конусов $⇒$ $△CKD$ и $△BKO$ – прямоугольные треугольники. Т.к. $DI = H$ $⇒$ $DO = OI = H : 2 = 8$ ; $KO = BO : tg ∠CKD = 1 : 1 = 2 2$ $⇒$ $KD = KO + OD = 2 + 8 = 10$ $⇒$ $CD-= KD- = 10 = 5 BO KO 2$ $⇒$ $CD = 5$ .

Объем усеченного конуса $CBOF EDC$ можно посчитать как разность объемов конуса $KCDE$ и конуса $KBOF$ :

VCBOF EDC = VKCDE − VKBOF = 1⋅πCD2 ⋅KD − 1⋅πBO2 ⋅KO = 1-⋅π⋅ 52 ⋅10 − 1-⋅π ⋅12 ⋅2 = 248π-. 3 3 3 3 3

Объем песочных часов складывается из двух объемов усеченного конуса, т.к. ситуация с нижним конусом полностью аналогична ситуации с верхним конусом в силу симметрии задачи, поэтому их объемы совпадают $CBOF EDC$ объем песочных часов равен $248π- 2 ⋅ 3$ . Окончательно, после умножения на $3π$ получаем:

V = 496.