Задача к ЕГЭ на тему «Комбинаторика» №9

Белоснежка и семь гномов садятся за круглый стол. Известно, что Ворчун не хочет сидеть рядом с Весельчаком и Соней. Сколькими способами их можно рассадить за стол так, чтобы Ворчуна всё устраивало, если считать, что не важно, кто на какое место сядет, важно только, кто будет соседями каждого гнома и Белоснежки?

Ответ не зависит от того, в каком порядке мы будем сажать Белоснежку и гномов за стол. Пусть первым за стол садится всегда Ворчун. Тогда его правым соседом может быть один из 5 кандидатов. После того, как его правый сосед выбран, на роль левого соседа Ворчуна могут претендовать 4 кандидата.

Далее имеем ситуацию как на рисунке:
 
PIC

 

Таким образом, есть 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2400  способов, но не все они различны. На самом деле каждый способ мы учли по два раза (если рассаживать кандидатов по часовой стрелке в определённой последовательности и если рассаживать их против часовой стрелки в той же последовательности, то рассадки будут одинаковыми).

В итоге есть 2400 : 2 = 1200  способов, которыми можно рассадить за стол гномов и Белоснежку так, чтобы Ворчуна всё устроило.

Оцените статью
Я решу все!