Задача к ЕГЭ на тему «Комбинаторика» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

Боря выписал все различные делители числа $2016$ . Сколько чисел выписал Боря?

Разложим $2016$ на простые множители: $2016 = 25 ⋅ 32 ⋅ 7$ . Все делители числа $2016$ равны $2a ⋅ 3b ⋅ 7c$ , где

$a$ может принимать значения $0,1,2$ , $3$ , $4$ или $5$ ,

$b$ может принимать значения $0$ , $1$ или $2$ ,

$c$ может принимать значения $0$ или $1$ .

При этом если тройки $(a ,b ,c ) 1 1 1$ и $(a ,b ,c) 2 2 2$ не совпадают, то числа $2a1 ⋅ 3b1 ⋅ 7c1$ и $2a2 ⋅ 3b2 ⋅ 7c2$ – различны.

Таким образом, у числа $2016$ столько же различных делителей, сколько существует различных троек вида $(a,b,c)$ , где $a$ принимает одно из шести значений, $b$ принимает одно из трёх значений, $c$ принимает одно из двух значений, то есть количество подходящих троек равно $6 ⋅ 3 ⋅ 2 = 36$ .

Комбинаторика