Задача к ЕГЭ на тему «Комбинаторика» №10

Просмотров 7 Комментарии 0

Даны два числа $N = p1k1 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ pnkn$ и $M = N ⋅ pi$ , где $p1,...,pn$ – простые числа, $i$ – некоторое число из множества ${1,2,...,n }$ . Во сколько раз количество различных делителей числа $M$ больше, чем количество различных делителей числа $N$ ?

Все делители числа $N$ равны $p1a1 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ pnan$ , где
$a1$ принимает одно из $k1 + 1$ значений (возможные значения: $0$ , $1$ , …, $k1$ )

...

$a n$ принимает одно из $kn + 1$ значений.

При этом, если упорядоченные наборы $(b1,...,bn)$ и $(c1,...,cn)$ не совпадают, то числа $p1b1 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ pnbn$ и $p1c1 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ pncn$ – различны.

Таким образом, у числа $N$ столько же различных делителей, сколько существует различных упорядоченных наборов вида $(a1,...,an)$ , где $a1$ принимает одно из $k1 + 1$ значений, $...$ , $an$ принимает одно из $kn + 1$ значений, то есть количество подходящих наборов равно $(k1 + 1) ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ (ki + 1) ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ (kn + 1)$ .