Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №97

Просмотров 8 Комментарии 0

На ребрах $CD$ и $BB1$ куба $ABCDA1B1C1D1$ с ребром 12 отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причем $DP = 4,$ $B1Q = 3.$ Плоскость $(AP Q)$ пересекает ребро $CC1$ в точке $M.$

а) Докажите, что точка $M$ делит ребро $CC1$ пополам.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $(APQ ).$

а) Так как грани $ABB1$ и $DCC1$ параллельны, то плоскость $AP Q$ пересечет их по параллельным прямым. Поэтому $P M ∥AQ$ .

$PIC$

Таким образом, $△ ABQ ∼ △P CM ⇒ CM = PC-⋅BQ-= 6 AB$ , т.е. $M$ – середина ребра $CC1$ .

б) Расстояние от точки $C$ до плоскости $APQ$ равно высоте $CH$ пирамиды $CMP S$ ( $C$ – ее вершина, $MP S$ – основание). Найдем $CH$ с помощью формулы:

3VCMPS hC = -SMPS--

Для этого рассмотрим эту пирамиду как пирамиду с вершиной в точке $S$ . $1 1 VSCMP = 3 SC ⋅ 2CM ⋅CP$ . Из подобия треугольников $SCP$ и $SAB$ найдем $SC = 24$ . Следовательно, $VSCMP = 192$ .