Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №93

Дан остроугольный треугольник $ABC.$ Около него описана окружность с центром в точке $O$ и в него вписана окружность с центром в точке $Q.$ Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника, $∠BAC =∠OBC + ∠OCB.$

а) Докажите, что точка $H$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BOC.$

б) Найдите угол $OHQ$ , если $∠ABC = 40∘.$

а) Т.к. треугольник остроугольный, то высоты пересекаются внутри треугольника.
Проведем радиусы описанной окружности $OB$ и $OC$ . $△BOC$ равнобедренный, пусть $∠OBC = ∠OCB = x$ . Тогда $∠BOC = 180∘− 2x$ .

$PIC$

По условию задачи $∠BAC = 2x$ . Но $∠BAC$ и $∠BOC$ – вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно,

∠BOC = 2∠BAC ⇒ 180∘ − 2x = 4x ⇒ x= 30∘.

Следовательно, $∘ ∠BAC = 60$ , $∘ ∠BOC = 120$ .
$△BNA ∼△BHM$ (по прямому углу и общему углу $ABN$ ), следовательно, $∘ ∠BHM = ∠BAN =60$ .
Следовательно, $∠BHC = 180∘− ∠BHM =120∘$ .

Следовательно, $∠BHC = ∠BOC = 120∘$ , то есть по признаку четырехугольник $BOHC$ является вписанным, что значит, что точка $H$ лежит на окружности, описанной около $△BOC$ .

б) Заметим, что так как $∠OBC = 30∘$ , а весь $∠B =40∘$ , то $∠ABO = 10∘$ . Также $∠CBH = 10∘$ . Т.к. центр $Q$ вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, то $∠QBC = 12∠ABC = 20∘$ , $∠QCB = 12∠ACB =40∘$ (так как $∠ACB = 180∘ = 60∘− 40∘ =80∘$ ). Значит $∠BQC = 180∘− (40∘+ 20∘)= 120∘$ .
Таким образом, точка $Q$ также лежит на окружности, описанной около $△BOC$ .

$PIC$

Заметим, что точка $Q$ лежит между точками $O$ и $H$ , так как $∠ABO =10∘$ , $∠ABQ = 0,5∠ABC = 20∘$ , $∠ABH = 30∘$ . Также имеем $∠OBQ =10∘$ .
Заметим, что для окружности, описанной около $△BOC$ , $∠OBQ$ и $∠OHQ$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны, то есть $∠OHQ = ∠OBQ =10∘$ .

Заметим, что т.к. $△BOC$ равнобедренный и центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам, то $J$ – центр описанной около $△BOC$ окружности, лежит на продолжении высоты $OK$ , являющейся также биссектрисой. Следовательно, $∘ ∠BOJ =60$ .
$△BOJ$ равнобедренный ( $JO = JB$ – радиусы описанной около $△BOC$ окружности) с одним из углов $∘ 60$ , следовательно, все его углы равны по $60∘$ и он равносторонний. Это значит, что радиус $JO$ описанной около $△BOC$ окружности равен радиусу $OB$ описанной около $△ABC$ окружности. Следовательно, точка $J$ лежит на окружности, описанной около $△ABC$ .