Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №91

15-ого апреля планируется взять кредит в банке на 700 тысяч рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с первого по $n$ -ый долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– 15-го числа $n$ -го месяца долг составлял 300 тысяч рублей;

– к 15-му числу $(n+ 1)$ -го месяца долг должен быть погашен полностью.

Найдите $n,$ если банку всего было выплачено 755 тысяч рублей.

Фраза «15-го числа каждого месяца с первого по $n$ -ый долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» означает, что долг каждый месяц после выплаты уменьшается на одну и ту же сумму $x$ тыс. руб. Таким образом, сначала долг составил 700 тыс. руб., после первой выплаты он составил $700 − x$ тыс. руб., после второй — $700− 2x$ тыс. руб. и так далее. Тогда после $n$ -ой выплаты долг равен $700 − nx$ тыс. рублей.

Заметим, что долг после первой выплаты равен долгу в начале второго месяца, следовательно, долг после $n$ -ой выплаты равен долгу на начало $(n+ 1)$ -го месяца. Тогда по условию $700− nx =300.$ Кроме того, за $(n+ 1)$ -ый месяц долг должен быть выплачен полностью.

Составим наглядную таблицу. Для удобства определения выплат долг после начисления процентов будем записывать в виде «долг до начисления процентов + начисленные проценты».