Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №90

15 января планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– на 15-ое число каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен должен быть на 20 тыс. рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15-му числу 31-го месяца долг должен быть погашен полностью.

Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 30-ого месяца, если банку всего было выплачено 1348 тыс. рублей?

Пусть в банке взято $A$ тыс. рублей. Заметим, что фраза «на 15 число каждого с 1 по 30 месяц долг должен уменьшаться на 20 тыс. рублей» означает, что с 1 по 30 месяц долг выплачивался дифференцированными платежами. Тогда сначала гасились начисленные проценты, а затем вносилась одна и та же сумма, равная 20 тыс. рублей. Вследствие этого после платежей с 1 по 30 месяц долг менялся следующим образом:

A− 20 → A− 2⋅20 → ... → A − 30 ⋅20

Так как в 31 месяце долг должен быть погашен полностью, то платеж в 31 месяце будет равен долгу, оставшемуся после начисления процентов.

Составим таблицу, в которой все будет более наглядно.

|М-есяц-|Долг-до %|Д-олг после %---------|Вы-плата---------|Долг после| |------|---------|----------------------|----------------|выплаты---| |1-----|A--------|A-+-0,01A--------------|0,01A-+-20-------|A-− 20----| |2-----|A-− 20---|(A-−-20)+-0,01(A-−-20)--|0,01(A-−-20)+-20--|A-− 40----| |3-----|A-− 40---|(A-−-40)+-0,01(A-−-40)--|0,01(A-−-40)+-20--|A-− 60----| |...----|...------|...-------------------|...-------------|...--------| |30----|A-− 580--|(A-−-580)+-0,01(A-−-580)-|0,01(A-−-580)+-20-|A-− 600---| -31-----A-− 600---1,01(A−-600)-----------1,01(A-−-600)------0---------

Исходя из условия задачи, нужно найти $A − 600.$ Для этого нужно найти $A.$ Так как всего было выплачено банку 1348 тыс. рублей, то сумма всех выплат равна 1348 тыс. рублей:

(0,01A + 20)+(0,01(A − 20)+20)+ ... ...+(0,01(A − 580)+ 20)+ (1,01(A− 600)) =1348

Так как первые 30 платежей дифференцированные, то они образуют арифметическую прогрессию с разностью $− 0,01⋅20.$ Таким образом, первые 30 слагаемых можно просуммировать, воспользовавшись формулой

S30 = a1+-a30-⋅30 2

Тогда получим

0,01A + 20+ 0,01(A − 580)+ 20 ------------2-------------⋅30+ 1,01(A − 600) =1348 (0,01A +20 − 0,01⋅290)⋅30+ 1,01A − 606 =1348 0,3A + 600− 87+ 1,01A − 606 =1348 A = 1441-= 1100 1,31

Тогда долг на 15 число 30-ого месяца равен $A − 600 = 500.$