Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №9

Просмотров 7 Комментарии 0

В правильной четырехугольной призме $ABCDA1B1C1D1$ сторона $AB$ основания равна 6, а боковое ребро $AA1$ равно $3√2.$ На ребрах $BC$ и $C1D1$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причем $BK = 4,$ $C1L = 5.$ Плоскость $α$ параллельна прямой $BD$ и содержит прямую $KL.$

а) Докажите, что прямая $AC1$ перпендикулярна плоскости $α.$

б) Найдите расстояние от точки $B1$ до плоскости $α.$

а) Построим сечение призмы плоскостью $α.$ Так как $α∥ BD,$ то $α$ пересечет плоскости $(ABC )$ и $(A1B1C1)$ по прямым, параллельным прямой $BD.$ Если линия пересечения $α$ и $(ABC )$ не параллельна $BD,$ то прямая $BD$ будет пересекать $α,$ следовательно, не может быть ей параллельна.

$PIC$

Проведем $KN ∥BD$ и $ML ∥ B1D1.$ Таким образом, $MLNK$ — сечение призмы плоскостью $α.$

По теореме о трех перпендикулярах $AC1 ⊥ KN$ как наклонная, так как $CC1 ⊥ (ABC ),$ $AC ⊥ BD,$ $BD ∥ KN.$

Рассмотрим сечение призмы плоскостью $ACC1A1$ $((ACC1 )∩ α= T R).$ Докажем, что $AC1 ⊥T R.$ Отсюда будет следовать, что $AC1 ⊥ α.$

$PIC$

Таким образом, нужно доказать, что треугольник $T OC1$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

√ - √ -- AC = 6 2, AC1 = 3 10

Из подобия треугольников $LC1T$ и $D1C1Z$

√- C1T- = C1L--= 5 ⇔ C1T = 5C1Z-= 5-2- C1Z C1D1 6 6 2

Аналогично $RC = √2.$ Тогда по теореме Пифагора

∘ ----------------- √ -- TR = (C1T − CR )2+ CC21 = 5-10 2

Далее имеем $△ AOR ∼△T OC 1$ с коэффициентом 2. Следовательно, $OC = √10, 1$ $√-- TO = -10. 2$ По обратной теореме Пифагора получаем

2 2 2 C1T = TO + OC 1

б) Так как прямая $B1D1 ∥α,$ то расстояние от любой точки прямой $B1D1$ до плоскости $α$ будет одинаковым. Следовательно,

ρ(B ,α) =ρ(Z,α) 1

Проведем $ZH ⊥ TR.$ Так как $TR ⊥ ML$ и $ZT ⊥ ML,$ то $ML ⊥ (TRZ ).$ Так как прямая $ZH$ принадлежит плоскости $(TRZ ),$ то $ZH ⊥ML.$ Тогда $ZH ⊥T R$ и $ZH ⊥ ML,$ следовательно $ZH ⊥ α.$

Найдем $ZH.$ Так как $△ ZHT ∼ △T OC1,$ то

1 √10- ZH = 5OC1 = --5-

$PIC$