Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №89

Просмотров 5 Комментарии 0

Окружность проходит через вершины $A,$ $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD.$ Эта окружность пересекает $BC$ в точке $E,$ а $CD$ в точке $K.$

а) Докажите, что отрезки $AE$ и $AK$ равны.

б) Найдите $AD,$ если известно, что $EC = 48,$ $DK = 20,$ а косинус угла $BAD$ равен $0,4.$

а)

$PIC$

Так как противоположные углы параллелограмма равны, то $∠ABE = ∠ADK$ . Так как равные вписанные углы опираются на равные дуги и на равные хорды, то $AE = AK$ , чтд.

б) Введем обозначения: $AD = x$ , $CK = y$ . Проведем отрезок $ED$ . Тогда $ABED$ — трапеция, причем равнобедренная, так как она вписана в окружность. Следовательно, $ED = y+ 20$ .

$PIC$

Запишем теорему косинусов для $△ECD$ :

(y+ 20)2 = 482+ (y+ 20)2− 2⋅48 ⋅(y+ 20)⋅0,4 ⇒ y = 40

Следовательно, $AB = 60$ .
Так как $∘ ∠B +∠C = 180$ по свойству параллелограмма, то косинусы этих углов противоположны, следовательно, $cos∠B = − 0,4$ .