Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №87

Просмотров 7 Комментарии 0

а) Решите уравнение $cosx+ √2sin (2x + π)= sin2x− 1. 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 11π ] −-2-;−4π .$

а) Воспользуемся формулой $sin(α+ β)= sinαcosβ+ sinβcosα$ :

√-( ) cosx+ 2 sin2x⋅cosπ+ sin π⋅cos2x = sin2x − 1 ⇒ 4 4 √-( √2- √2) cosx+ 2 sin 2x ⋅2 + cos2x ⋅2 =sin2x− 1 ⇒ cosx+ sin2x+ cos2x− sin2x+ 1= 0 ⇒ 2 2 cosx+ (2cos x− 1)+ 1= 0 ⇒ 2cos x+ cosx= 0 ⇒ cosx(2cosx+ 1)=0

Таким образом, либо $cosx= 0$ , либо $2 cosx+ 1= 0$ , откуда получаем серии решений:

$π 2π x = 2 + πk, x= ± 3 +2πn, k,n∈ ℤ$ .

б) Отберем корни.

$11π π 11π 9π −-2- ≤ 2 + πk≤ −4π ⇒ −6≤ k≤ −4,5 ⇒ k= −6;−5 ⇒ x= −-2-;−-2$ $11π 2π 37 7 16π − -2- ≤-3 +2πn ≤− 4π ⇒ − 12-≤ n≤ −3 ⇒ n= −3 ⇒ x= −-3-$ $− 11π-≤ − 2π +2πn≤ −4π ⇒ − 29 ≤n ≤− 5 ⇒ n= −2 ⇒ x= − 14π 2 3 12 3 3$