Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №86

Просмотров 5 Комментарии 0

На медиане $BM$ равнобедренного треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, которая второй раз пересекает основание $BC$ в точке $P.$

а) Докажите, что $PB = 3CP.$

б) Пусть данная окружность пересекает сторону $AB$ в точке $L.$ Найдите $AB,$ если $BP = 18,$ $BL = 17.$

а)

$PIC$

Заметим, что $∘ ∠BP M =90$ , т.к. опирается на диаметр $BM$ . Проведем $AH ⊥ BC$ . Т.к. треугольник равнобедренный, то $H$ – середина $BC$ . Тогда $AH ∥MP$ .
По теореме Фалеса (т.к. $AH ∥MP$ , $AM = MC$ ) $HP = P C$ .

Следовательно, $PC = 1HC = 1 ⋅ 1BC = 1BC 2 2 2 4$ , откуда следует, что $BP :PC = 3:1$ .

б) Обозначим $AM = MC = x$ , тогда $AL = 2x− 17$ .

$PIC$

Из прямоугольного $△MP C$ :

MP 2 = MC2 − P C2 = x2− 62.

Из прямоугольного $△BMP$ :

BM2 = BP2 +MP 2 = 182+x2 − 62.

Заметим, что $∘ ∠BLM =90$ как опирающийся на диаметр. Следовательно, из прямоугольного $△BLM$ :

LM2 = BM2 − BL2 = 182+ x2− 62− 172.

Из прямоугольного $△ALM$ :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AM = AL + LM ⇒ x =(2x− 17) +18 + x − 6 − 17 ⇒ (2x − 17) = 1.

Заметим, что $2x − 17$ – это длина отрезка $AL$ , следовательно, она не может быть отрицательной, значит,

2x − 17 = 1 ⇒ 2x= 18= AB.

из прошлых лет