Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №83

В июле планируется взять кредит на сумму $1342000$ рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Из условия задачи следует, что в обоих случаях кредит будет гаситься аннуитетными платежами. Составим таблицу для каждого случая, делая все вычисления в тысячах рублей.
Случай, когда кредит взят на 4 года (пусть $x$ – ежегодный платеж):
$------------------------------------------------------------------------- |Год |Долг до начисления %| Долг после начисления %| Д олг после платеж & |-1--|-------1342--------|-------1,2⋅1342--------|-----1,2⋅1342−-x------| |-2--|----1,2⋅1342-− x----|----1,2(1,2⋅1342−-x)----|--1,2(1,2⋅1342-− x)-− x-| | 3 |1,2(1,2 ⋅1342− x)− x |1,2(1,2(1,2 ⋅1342 − x)− x)|1,2(1,2(1,2⋅1342− x)− x)| |----|-------------------|-----------------------|---------−-x----------| | 4 |1,2(1,2(1,2 ⋅1342 − x)| 1,2(1,2(1,2(1,2⋅1342− x) |1,2(1,2(1,2(1,2 ⋅1342 − x)| ------------−x)-− x---------------−x)−-x)---------------−x)−-x)−-x-------$ Так как в конце 4-ого года долг банку равен нулю, то получаем уравнение:

1,2(1,2(1,2(1,2⋅1342 − x)− x)− x)− x= 0,

которое, как известно для аннуитетных платежей, переписывается в удобном виде:

1,24⋅1342− x(1,23+ 1,22+ 1,2 +1)= 0

Случай, когда кредит взят на 2 года (пусть $y$ – ежегодный платеж):
$|----|-------------------|----------------------|-------------------| Год Долг до начисления % Д олг после начисления % Долг после платеж&#x0 |-12--|----1,21⋅3143242-− y----|----1,2(11,,22⋅⋅11334422− y)---|1,2(11,,22⋅⋅11334422−−-yy)−-y-| --------------------------------------------------------------------$ Аналогично получаем уравнение

1,2(1,2⋅1342 − y)− y =0 ⇔ 1,22⋅1342− y(1,2+ 1)= 0

В первом случае клиент отдаст банку $4x$ тыс. рублей, во втором случае – $2y$ тыс. рублей. Нам нужно найти $4x− 2y$ . Выразим из каждого уравнения $x$ и $y$ , тогда:

-----1,24⋅1342---- 1,22⋅1342- 4x− 2y = 4⋅1,23+ 1,22 +1,2+ 1 − 2 ⋅ 1,2+ 1 = ( 2 ) = 2⋅1,22⋅1342⋅ -----2⋅1,2----- − 1-- = (1,2+ 1)(1,22 +1) 2,2 2,88 − 2,44 = 2⋅1,22⋅1342⋅-2,2-⋅2,44--= 2-⋅12-⋅12-⋅1342-⋅44 = 22 ⋅244⋅10 = = 316,8

Мы получили ответ в тыс. рублей, следовательно, ответ: $316 800$ рублей.