Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №81

Просмотров 6 Комментарии 0

Дана правильная четырехугольная пирамида $MABCD,$ все ребра которой равны 12. Точка $N$ — середина бокового ребра $MA,$ точка $K$ делит боковое ребро $MB$ в отношении $2:1,$ считая от вершины $M.$

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $AD,$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Обозначим за $α$ плоскость из условия. Так как $AD ∥α,$ то плоскость $α$ пересечет плоскость $(AMD )$ по прямой, параллельной $AD.$ Следовательно, проведем $NF ∥AD.$

Так как $AD ∥ BC,$ потому что пирамида правильная, то $BC$ также параллельна $α.$ Следовательно, аналогично предыдущему рассуждению, проведем $KE ∥BC.$ Получим сечение $NF EK.$

$PIC$

Так как $NF ∥ AD,$ то $△ NMF ∼ △AMD$ с коэффициентом подобия $1:2.$ Следовательно,

NF = 0,5AD = 6

Аналогично $△ KME ∼ △BMC$ с коэффициентом подобия $2:3.$ Следовательно,

2 KE = 3 BC = 8

Тогда $NF ⁄= KE$ и из построения следует, что $NF ∥KE.$ Значит, сечение $NF EK$ представляет собой трапецию.

Так как $NF ∥AD,$ то по теореме Фалеса

MF :F D =MN :NA = 1:1

Аналогично получаем

ME :EC = MK :KB = 2:1

Следовательно, так как грани $AMB$ и $DMC$ равны, то и отрезки $NK$ и $F E$ равны. Таким образом, трапеция $NF EK$ равнобедренная.

б) Найдем боковую сторону трапеции. Для этого рассмотрим боковую грань $AMB :$

$PIC$

Так как все ребра пирамиды равны, то $△ AMB$ равносторонний, следовательно, $∘ ∠M =60 .$ Кроме того, $MN =6,$ $MK =8.$ По теореме косинусов в треугольнике $MNK$ имеем: