Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №80

Просмотров 6 Комментарии 0

Дан тупоугольный треугольник $ABC$ с тупым $∠ABC.$ Продолжения высот этого треугольника пересекаются в точке $H.$ При этом $∠AHC =60∘.$

а) Докажите, что $∠ABC =120∘.$

б) Найдите $BH,$ если $AB = 6,$ $BC = 10.$

а) Заметим, что в тупоугольном треугольника в одной точке пересекаются продолжения высот.

Рассмотрим четырехугольник $A1BC1H.$ В нем $∠A1 = ∠C1 = 90∘.$ Следовательно,

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A1BC1 = 180 − ∠A1HC1 = 180 − 60 =120

Так как $∠A1BC1$ и $∠ABC$ — вертикальные, то они равны, значит, $∠ABC = 120∘.$

$PIC$

б) Рассмотрим прямоугольный $△CHA1.$ Так как $∠CHA1 = 60∘,$ то $∠HCA1 = 30∘.$ Аналогично $∠HAC1 = 30∘.$

Тогда из прямоугольного $△C1CB$ катет $C1B$ равен половине гипотенузы $CB,$ так как лежит против угла $∘ 30 ,$ значит, $C1B = 5.$ Аналогично $A1B = 0,5⋅AB = 3.$

Рассмотрим снова $△HCA1.$ Тогда имеем:

√ - --3 =tg30∘ = HA1 ⇒ HA1 = 1√3- 3 CA1 3

По теореме Пифагора из прямоугольного $△HA B 1$ окончательно получаем:

∘ ----------- 2 ( 13-)2 -14 BH = 3 + √3- = √3

из прошлых лет