Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №78

Просмотров 6 Комментарии 0

Основанием прямой треугольной призмы $ABCA1B1C1$ является прямоугольный треугольник $ABC,$ причем $∠C = 90∘.$ Диагонали боковых граней $AA1B1B$ и $BB1C1C$ равны соответственно 26 и 10, $AB = 25.$

а) Докажите, что $△BA1C1$ — прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды $AA1C1B.$

а) Так как $BB1 ⊥ (A1B1C1),$ $B1C1 ⊥ A1C1,$ то по теореме о трех перпендикулярах $BC1 ⊥ A1C1$ как наклонная. Следовательно, $△A1C1B$ — прямоугольный.

$PIC$

б) Заметим, что $BC ⊥ AC$ и $BC ⊥ CC1,$ следовательно, по признаку $BC ⊥(AA1C1 ).$ Тогда $BC$ — высота пирамиды $BAA1C1$ с основанием $AA1C1.$

Так как $△AA1C1$ прямоугольный, то

1 ⋅AA1⋅A1C1 ⋅BC VBAA1C1 = 2-----3--------

По теореме Пифагора имеем:

$pict$

Тогда искомый объем пирамиды равен

1 √ -- VBAA1C1 = 2 ⋅24⋅-51-⋅7= 28√51 3

из прошлых лет