Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №76

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB = 5$ и диагональю $BD = 9.$ Все боковые ребра пирамиды равны 5. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E,$ а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF = BE = 4.$

а) Докажите, что плоскость $(CEF )$ параллельна ребру $SB.$

б) Плоскость $(CEF )$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q.$ Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC ).$

а) Продлим $CE$ до пересечения с $AB$ в точке $K.$ Получим отрезок $F K,$ по которому плоскость $(CEF )$ пересекает грань $SAB.$

$PIC$

Рассмотрим основание пирамиды прямоугольник $ABCD.$ Так как $DE = 9− 4= 5= DC,$ то $△DEC$ равнобедренный. Тогда имеем:

∠DCE = ∠DEC = ∠BEK = ∠BKE

Следовательно, $△BEK$ тоже равнобедренный и $BE = BK = 4.$ Отсюда $AK = 5− 4= 1.$

Заметим, что боковые грани $ASB$ и $CSD$ представляют собой равносторонние треугольники со стороной 5. Таким образом, в $△AF K$ имеем $AF =AK = 1$ и $∠F AK = 60∘,$ следовательно, он также равносторонний. Тогда $FK ∥ SB,$ поскольку $∠AKF = ∠ABS = 60∘$ как соответственные при секущей $AB.$

Таким образом, в плоскости $(CEF )$ есть прямая $FK,$ параллельная $SB.$ Следовательно, по признаку плоскость $(CEF )$ параллельна $SB.$

б) Так как плоскость $(CEF )∥SB,$ то она пересечет плоскость $(BSD )$ по прямой $EQ,$ параллельной $SB.$ В противном случае $\text{[math]}$ будет пересекать $SB,$ следовательно, и плоскость $(CEF )$ будет пересекать $SB.$

$PIC$

Заметим, что так как все боковые ребра пирамиды равны, то высота $SO$ упадет в точку пересечения диагоналей основания. Это так, поскольку все треугольники $SAO,$ $SBO,$ $SCO$ и $SDO$ равны как прямоугольные по катету и гипотенузе, следовательно, $AO = BO =CO = DO.$