Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №75

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $2log22(2sinx)− 7log2(2sinx)+3 =0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π;2π]. 2$

а) ОДЗ уравнения: $sinx > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1022-1.svg» width=»auto»>. Сделаем замену <img decoding=$ . Тогда уравнение примет вид:

2t2− 7t+ 3= 0

Его корнями будут $t1 = 3$ и $t2 = 1 2$ . Сделаем обратную замену:

$∙$ $log2(2sinx)= 3 ⇒ sin x= 4$ . Данное уравнение не имеет решений.

$∙$ $log2(2sinx)= 1 ⇒ sinx= √2 ⇒ 2 2$ $x1 = π + 2πn 4$ и $x2 = 3π +2πk 4$ , $n,k∈ ℤ$ .

б) Отберем корни:

π ≤x1 ≤ 2π ⇔ 1≤ n≤ 7 ⇒ n∈ ∅ ⇒ x∈ ∅ 2 8 8 π 1 5 3π 2 ≤x2 ≤ 2π ⇔ − 8 ≤ k≤ 8 ⇒ k= 0 ⇒ x= 4