Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №73

Просмотров 5 Комментарии 0

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причем меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M,$ отличной от точки $A.$ Лучи $AO$ и $AM$ вторично пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AQ$ большей окружности, не содержащей точку $P.$

а) Докажите, что прямые $P Q$ и $BC$ параллельны.

б) Известно, что $√ -- sin ∠AOC = 14 15,$ прямые $PC$ и $AQ$ пересекаются в точке $K.$ Найдите $QK :KA.$

а) Рассмотрим $△P QA$ и $△OMA$ : $∠P QA = ∠OMA = 90∘$ , так как опираются на диаметры $P A$ и $OA$ соответственно, $∠P AQ$ — общий. Тогда треугольники $P QA$ и $OMA$ подобны по двум углам и $∠AP Q = ∠AOM$ . Поскольку эти углы соответственные при прямых $PQ$ и $OM$ и секущей $PA$ , то $PQ ∥OM$ и $PQ ∥ BC$ .

$PIC$

б) Из предыдущего пункта следует, что коэффициент подобия треугольников $PQA$ и $OMA$ равен $PA :OA = 2:1$ . Следовательно, $QM = MA$ . Обозначим $OM = a$ , $MA = b$ , $OA =c$ . Найдем $QK :KM$ .
Заметим, что прямоугольные треугольники $P QK$ и $MCK$ подобны по двум углам. Следовательно,

QK :KM = PQ :MC = 2OM :MC

Так как $OC = OA$ — радиус большей окружности, то

QK :KM = 2a:(c− a)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOM$ с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ . Поскольку $1√-- sin∠AOM = 4 15$ , то примем $√-- b= 15x$ , $c = 4x$ . Тогда по теореме Пифагора $a =x$ и

QK :KM =2x :(4x − x) =2 :3

Отсюда $QK = 2y$ , $KM = 3y$ и с учетом $QK + KM = MA$ получим

QK :KA = 2y :(3y+ 5y)= 2y :8y = 1 :4