Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №72

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $7$ млн. рублей на некоторых срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $17,5$ млн. рублей?

Так как выплачивается кредит дифференцированными платежами, то если $n$ – количество лет, на которое взят кредит в $7$ млн. рублей, значит, каждый год после платежа долг должен уменьшаться на $-7 n$ млн. рублей. Значит, в последний, $n$ -ый год, долг будет равен $7 n$ млн. рублей. Платеж, как и обычно в дифференцированных платежах, состоит из процентов, набежавших на сумму долга в этот год, плюс $7 n$ млн. рублей.
Составим таблицу:

|----|------------------------|----------------------------|----------------| |Год-|Д-олг-до-нач-ислени-я-%-|-Дол-г п-осле-начисл-ения-%-|----Пл-атеж-----| |1 | 7 | 7 + 0,2 ⋅ 7 | 0,2 ⋅ 7 + 7 | |2---|---------7-−-7----------|----7-−-7-+-0,2-(7-−-7)-----|0,2-(7 −-7)-n+-7-| |----|-------------n----------|--------n------------n------|---------n----n-| |...--|-----------...-----------|-------------...-------------|-------...-------| -n---------------7n----------------------7n +-0,2 ⋅-7n-----------0,2-⋅n7+--7n----

Тогда переплата по кредиту равна сумме первых слагаемых из столбца “Платеж”:

( 7) 7 ( ( 7) 7) 0,2 ⋅ 7 + 0,2 ⋅ 7 −-- + ⋅⋅⋅ + 0,2 ⋅--= 0,2 ⋅ 7 + 7 − -- + ⋅⋅⋅ +-- = n n n n

Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где первый член равен $7$ , разность равна $− 7 n$ , последний член равен $7 n$ , а всего членов $n$ штук. Следовательно,

7 + 7 = 0,2 ⋅----n-⋅ n = 0, 7(n + 1) 2

Это мы вычислили переплату по кредиту. С другой стороны, если общая сумма выплат после погашения кредита составила $17,5$ млн. рублей, а в кредит было взято $7$ млн. рублей, то переплата равна $10, 5$ млн. рублей. Следовательно,

0,7(n + 1) = 10,5 ⇒ n = 14