Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №71

На ребрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причем $AM :MB = CN :NB = 4:1.$ Точки $P$ и $Q$ — середины ребер $DA$ и $DC$ соответственно.

а) Докажите, что точки $P,$ $Q,$ $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды $ABCD.$

а) Докажем, что $MN ∥ PQ$ (отсюда будет следовать, что прямые $P Q$ и $MN$ лежат в одной плоскости).

Так как $AM :MB =CN :NB = 4 :1$ по условию, то по теореме, обратной теореме Фалеса, $MN ∥AC.$

$PIC$

Так как $P,$ $Q$ — середины $DA$ и $DC,$ то $PQ$ — средняя линия, следовательно, $PQ ∥AC.$ Следовательно, $P Q ∥AC ∥ MN.$ Что и требовалось доказать.

б) Отметим $R$ — середину $DB.$ Рассмотрим пирамиду $DP RQ.$ Заметим, что так как $DP :DA =1 :2,$ а также так как $(P RQ) ∥(ABC )$ (две пересекающиеся прямые $PR$ и $RQ$ одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ другой плоскости, то такие плоскости параллельны), то высота $DH ′$ пирамиды $DP RQ$ относится к высоте $DH$ пирамиды $DABC$ как $1:2$ (пусть $DH ′ = H′H = h$ ).

Заметим также, что $△ABC ∼ △P RQ$ с коэффициентом 2 (так как $PR,$ $RQ,$ $QP$ в два раза меньше $AB,$ $BC,$ $AC$ соответственно как средние линии в $△ADB,$ $△BDC,$ $△CDA$ ).

Следовательно, $S = 4S . ABC PRQ$ Таким образом,

1 VDABC-= -3 ⋅2h⋅4SPRQ = 8 VDPRQ 13 ⋅h⋅SPRQ

Значит,

VDPRQ = 1VDABC 8

$PIC$

Заметим, что $MBNP RQ$ — усеченная пирамида, основания которой — подобные треугольники $MBN$ и $P RQ$ ( $△MBN ∼ △ABC,$ а $△ABC ∼ △P RQ,$ следовательно, $△MBN ∼ △P RQ$ ). Так как $BM :BA = 1 :5$ и $PR :BA = 1:2,$ то $BM :P R =2 :5.$

Следовательно, $SMBN :SPRQ = (2:5)2 = 4:25.$ Заметим, что высота усеченной пирамиды $MBNP RQ$ равна $H′H = h.$

Продлим $PM,$ $DB,$ $QN$ до пересечения в точке $O.$

Аналогично как с пирамидами $DP RQ$ и $DABC,$ высота пирамиды $OMBN$ относится к высоте пирамиды $OP RQ$ как $OB :OR.$ Найдем отношение $OB :OR.$ Из подобия $△OMB ∼ △OP R :$

OB-= MB-- = 2 OR PQ 5

Значит, пусть высота $OMBN$ равна $2x,$ тогда высота $OP RQ$ равна $5x$ (отсюда следует, что $3x$ — высота усеченной пирамиды $MBNP RQ,$ то есть $3x =h$ ).