Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №70

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $27⋅81sinx− 12 ⋅9sin x+ 1= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π] 2π;-2 .$

а) ОДЗ уравнения: $x ∈ℝ$ .
Сделаем замену $9sinx = t$ , тогда t> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1016-3.svg» width=»auto»>. Уравнение примет вид: </p>
<div class= $2 27t− 12t+ 1= 0$

По теореме Виета корнями будут $t = 1 9$ и $t= 1 3$ (оба подходят по ОДЗ). Сделаем обратную замену: 1) $9sinx = 1 ⇒ sinx = −1 9$ . Следовательно, $π x = −2-+ 2πn,n∈ ℤ$ . 2) $1 1 π 9sinx = 3 ⇒ sinx= − 2 ⇒ x = −6-+ 2πk$ и $5π x =− -6 +2πm$ , $k,m ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни.

2π ≤ − π-+ 2πn ≤ 7π ⇔ 5≤ n ≤ 2 ⇒ n= 2 ⇒ x = 7π 2 2 4 2 2π ≤ − π-+ 2πk ≤ 7π ⇔ 13≤ k ≤ 11- ⇒ k ∈ ∅ ⇒ x ∈ ∅ 6 2 12 6 5π 7π 17 13 19π 2π ≤ −-6 +2πm ≤ -2 ⇔ 12 ≤m ≤ 6- ⇒ m = 2 ⇒ x= -6-