Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ √ ------ (xy2 − xy − 6y + 6) y + 2 = 0 y = ax

имеет ровно три различных решения.

Система равносильна системе:

( || y = ax { |||| y = ax { y⌊ ≥ − 2 √ ------ ⇔ y = 1 (y − 1)(xy − 6) y + 2 = 0 |||| |⌈ xy = 6 ||( y = − 2

Заметим, что при $a = 0$ система не имеет решений, следовательно, далее будем предполагать, что $a ⁄= 0$ .
Наша система равносильна совокупности трех систем:

⌊ ( { y = 1 || ( x = 1- (I ) || a | ( || { y = − 2 || 2 (II) | ( x = − -- || ( a || | y ≥ − 2 | |{ 6 |⌈ x2 = -- (III ) ||( a y = ax

Первые две системы I и II всегда имеют решение, а система III либо имеет 2 решения (если $a > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-378-5.svg» width=»auto»> и оба значения <img decoding=$ не менее -2), либо имеет 1 решение (если $a > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-378-7.svg» width=»auto»>, но ровно один из <img decoding=$ меньше -2), либо не имеет решений (при $a < 0$ ).

Следовательно, для того, чтобы изначальная система имела 3 различных решения, необходимо выполнение одного из двух случаев:

1) система III имеет два решения, но ровно одно из них совпадает с решением системы I или II.

Чтобы система III имела 2 решения, нужно: $a > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-378-10.svg» width=»auto»> и <img decoding=$ .

Тогда этими решениями являются: $( ∘ -- ) ( ∘ -- ) 6-;√6a-- ; − 6-;− √6a- a a$ . Следовательно:

[ √ --- ⌊ 1 1 = 6a | a = -- √ ---⇒ ⌈ 6 − 2 = − 6a a = 2- 3

Оба значения параметра удовлетворяют условию ${ } 0 < a ≤ 2-⇒ a ∈ 1; 2- 3 6 3$ .

2) система III имеет 1 решение и оно не совпадает с решениями систем I и II.

Чтобы система III имела 1 решение, нужно: a > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-378-15.svg» width=»auto»> и <img alt= 3 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-378-16.svg» width=»auto»>.

Тогда этим решением является: $( ) ∘ --√ --- 6; 6a a$ . Следовательно:

$√ --- 1 6a ⁄= 1 ⇒ a ⁄= -- 6$ . Учитывая условие $2 a > — 3 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-378-19.svg» width=»auto»>, получим, что <img decoding=$ .