Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №69

Просмотров 6 Комментарии 0

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром в $O.$

а) Докажите, что $sin∠AOD = sin ∠BOC.$

б) Найдите площадь трапеции, если $∠BAD = 90∘,$ а основания трапеции равны 5 и 7.

а) Поскольку окружность вписана в трапецию, то ее центр лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. В трапеции $ABCD$ имеем:

1 ∠A +∠B = 180∘ ⇔ 2(∠A + ∠B) = 90∘

Следовательно,

∠AOB = 180∘− 90∘ = 90∘

$PIC$

Аналогично $∘ ∠COD = 90 .$ Тогда имеем:

∠AOD +∠BOC = 360∘− 90∘− 90∘ =180∘

Отсюда получаем

sin∠AOD = sin ∠BOC

Что и требовалось доказать.

б) В трапеции $ABCD$ имеем:

∘ ∘ ∠A =∠B =90 ⇒ ∠BAO = ∠ABO = 45

Кроме того, $△AOB$ — прямоугольный и равнобедренный.

Пусть $M, N,K,L$ — точки касания окружности со сторонами $AB, BC,CD, AD$ соответственно. Тогда $OM ⊥ AB$ как радиус, проведенный в точку касания. Так как $△AOB$ равнобедренный, то $OM$ — медиана и $AM = MB.$

Далее, $AM = AL$ и $BM = BN$ как отрезки касательных к окружности из одной точки. Следовательно, имеем:

AL = AM = BM = BN = x

Пусть также

CN =CK = y, DL = DK = z

Тогда получаем

x +y = 5, x +z = 7

$PIC$

Кроме того, $AB = 2x$ — высота трапеции. Найдем $x.$ Проведем $CH ⊥ AD.$ Тогда получаем

HD = AD − AH = AD − BC = 2 CH = AB = 2x

Тогда по теореме Пифагора из $△CHD :$

(2x)2+ 22 = (y+ z)2

С учетом $y = 5 − x, z = 7− x$ получаем

4x2+ 4= (12− 2x)2 ⇒ x = 35 12

Тогда площадь трапеции равна

5+ 7 S = --2- ⋅2x = 35

из прошлых лет