С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр. Например, из числа 194 получается число 1109134.
а) Приведите пример числа, из которого получается число 176148179.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 3107611090?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?
а) Так как 
то первая цифра искомого числа 1, вторая цифра 
Так как 
то третья цифра — это 8: 
Аналогично четвертая, последняя, цифра числа — это 9. Таким образом, подходит число 1689.
б) Предположим, что такое число существует. Начнем так же, как в пункте а), определять цифры этого числа слева направо. Очевидно, что первые две цифры — это 
и 
то есть число 
Третья цифра не может быть 1, так как 
и 
Также она не может быть равна 0, 9 или 0, так как в этом случае сумма двух цифр уже должна быть равна трех-, четырех- или пятизначному числу. Следовательно, подходящего числа не существует.
в) Пусть дано трехзначное число 
Тогда из него получится число
Заметим, что при 
и 
данное число будет семизначным, а во всех остальных случаях — шести- или пятизначным. Таким образом, так как мы ищем наибольшее возможное число, то найдем его среди семизначных чисел.
Пусть с учетом 
имеют место равенства
Тогда число имеет вид 
По признаку делимости число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечетных местах, минус сумма цифр, стоящих на четных местах, кратна 11. То есть
Так как 
то имеем:
Отсюда получаем
Для того, чтобы число 
было наибольшим, его первая цифра должна быть наибольшей. Следовательно, если 
то 
чтобы было выполнено 
Заметим, что 
может быть любым. Следовательно, возьмем максимальное 
Таким образом, наибольшее число получится из числа 979 и равно 