Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №67

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

√ ----- ∘ ------------------ x x− a= 6x2− (6x+ 3a)x+ 3a

имеет единственный корень на отрезке $[0;1].$

Уравнение равносильно

√----- ∘ -------- x x − a= 3a(1− x)

Выпишем ОДЗ уравнения:

{ x − a≥ 0 3a(1− x)≥ 0

На ОДЗ уравнение перепишется в виде

x3 − a (x2 − 3x +3) =0

1) Пусть $a < 0.$ Тогда ОДЗ уравнения: $x ≥1.$ Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке $[0;1],$ этот корень должен быть равен 1. Проверим:

13 − a (12− 3⋅1 +3) =0 ⇒ a= 1.

Не подходит под $a <0.$ Следовательно, эти значения $a$ не подходят.

2) Пусть $a= 0.$ Тогда ОДЗ уравнения: $x ≥0.$ Уравнение перепишется в виде:

3 x = 0 ⇒ x = 0

Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок $[0;1].$ Следовательно, $a = 0$ подходит.

3) Пусть $a > 0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1012-15.svg» width=»auto»> Тогда ОДЗ: <img decoding=$ и $x≤ 1.$ Следовательно, если $a > 1, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1012-18.svg» width=»auto»> то ОДЗ — пустое множество. Таким образом, <img decoding=$ и при этих $a$ ОДЗ: $a ≤ x≤ 1.$ Следовательно, если корень подойдет по ОДЗ, то он попадет и в отрезок $[0;1].$

Рассмотрим функцию $3 ( 2 ) y = x − a x − 3x + 3 .$ Исследуем ее.

Производная равна $′ 2 y = 3x − 2ax+ 3a.$ Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения $3x2− 2ax+ 3a= 0 :$ $D = 4a(a− 9).$ Следовательно, при $a∈ (0;1]$ дискриминант $D < 0.$ Значит, выражение $3x2− 2ax+ 3a$ положительно при всех $x.$ Следовательно, при $a ∈(0;1]$ производная $y′ > 0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1012-32.svg» width=»auto»> Следовательно, <img decoding=$ возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение $y(x) =0$ может иметь не более одного корня.