Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №66

Просмотров 6 Комментарии 0

На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на заводе рабочие суммарно трудятся $t2$ часов в день, то завод выпускает $t$ единиц продукции. Заработная плата на первом заводе для одного рабочего составляет $500$ рублей в час, на втором заводе – $300$ рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить в месяц оба завода, если на зарплату в месяц рабочим выделяется $1200000$ рублей.

Пусть на первом заводе рабочие трудились $t2$ часов, тогда завод выпустил $t$ единиц продукции; пусть на втором трудились $p2$ часов, тогда завод выпустил $p$ продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины $T = t+ p$ . Так как заработная плата в час составляет $500$ и $300$ рублей на первом и втором заводах соответственно, то $1200000= 100(5t2+ 3p2)$ .
Выразим $t= T − p$ и подставим в уравнение:

2 2 2 2 1 200000 =100(5(T − p) +3p ) ⇔ 8p − 10T p+ 5T − 12000 =0

Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным:

2 2 2 D = 100T − 4⋅8(5T − 12000) =4 ⋅8⋅12000 − 60T ≥0

Отсюда получаем, что $T2 ≤ 4⋅8⋅200= 82⋅102$ , следовательно, $T ∈ [0;80]$ (учитывая, что $T ≥ 0$ , так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное $T$ – это $T =80$ .
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для $t$ и $p$ (так как это количество продукции).
При $T = 80$ дискриминант $D = 0$ , следовательно,

10⋅80 p= 2⋅8 = 50 ⇒ t= 80− 50 = 30.

Таким образом, проверка удалась и ответом является $T = 80$ .