Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №65

Просмотров 5 Комментарии 0

В трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD$ вписана окружность, которая касается боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $N$ и $M$ соответственно, причем $AN :NB = 8 :1,$ $DM :MC = 2 :1.$

а) Докажите, что $AD = 4BC.$

б) Найдите $MN$ , если известно, что радиус данной окружности равен $√ - 6.$

а) Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $P.$

Так как $AN :NB = 8:1,$ то можно принять $AN = 8x,NB = x.$ Аналогично $CM = y,MD =2y.$ Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $BK = x,CK = y,AL = 8x,LD = 2y,$ где $K,L$ — точки касания окружности с основаниями.

Аналогично $PN =P M$ как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности. Так как $△AP D ∼ △BP C$ по двум углам, то

PA- AD- PB-+-AB- AD- PB = BC ⇒ P B = BC ⇒

⇒ PB = -AB-⋅BC- = -9x-⋅(x-+y)--- AD − BC 8x+ 2y− x− y

$PIC$

По той же причине

P-D AD- PC-+-CD- AD- 3y⋅(x+-y) P C = BC ⇒ PC = BC ⇒ PC = 7x + y

Так как $PN =P M,$ то

x + 9x⋅(x+-y)= y+ 3y⋅(x+-y) ⇔ 4x2 = y2 ⇒ y = 2x 7x + y 7x+ y

Таким образом, $AD =12x,$ $BC = 3x,$ то есть $AD = 4BC.$

б) Из пункта а) следует, что $PB = 3x,$ $PC = 2x.$ Обозначим $∠APD = α.$

Тогда по теореме косинусов из $△NP M :$

∘ ------------------------- √-------- MN = (4x)2+ (4x)2 − 2 ⋅4x ⋅4x ⋅cosα = 4x⋅ 2 − 2cosα

$PIC$

Найдем $x$ и $cosα.$ По теореме косинусов из $△AP D :$

2 2 2 AD = AP + DP − 2⋅AP ⋅DP ⋅cosα ⇒

64x2 1 2√2- ⇒ cosα = 2⋅12x⋅8x-= 3 ⇒ sinα= -3--

По формуле $S = p⋅r$ для $△AP D :$

√ - 1 AP-+-PD-+-AD- √- --3 2 ⋅AP ⋅DP ⋅sinα = 2 ⋅ 6 ⇒ x= 2

Тогда искомый отрезок равен

√ - ∘ ------- MN = 4⋅--3⋅ 2− 2⋅ 1 = 4 2 3

из прошлых лет