Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №6

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2 x + 4x − x⋅log2(a− 3)+ 6= 0

имело единственное решение на отрезке $[− 2;2]$ .

1 способ.

Обозначим $b =log2(a − 3)$ . Заметим, что $x = 0$ не является решением данного уравнения, следвательно, можно разделить уравнение на $x$ и получить

b= x2 +4x + 6 x

Будем рассматривать параметр $b$ как переменную. Построим в системе координат $xOb$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;b0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $b$ принимает значение $b0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $b0$ параметра $b,$ при каждом из которых одна точка вида $(x0;b0)$ , $x0 ∈ [− 2;2]$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOb.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $b= b0$ имеет одну точку пересечения с множеством $S$ .

Исследуем функцию $b= b(x)$ :

′ 6- 2(x3+-2x2−-3) 2(x−-1)(x2+-3x+-3) b = 2x+ 4− x2 = x2 = x2

Нуль производной — точка $x= 1$ , а также производная не существует в точке $x= 0$ . Следовательно, при $x ∈[−2;0)∪(0;1)$ производная отрицательна, следовательно, $b= b(x)$ убывает, при $x∈ (1;2]$ производная полождительна, следовательно, функция возрастает. Тогда график функции $b= b(x)$ выглядит следующим образом:

$PIC$

$S$ — это голубой график функции $b= b(x)$ , а розовым цветом обозначена область, вы которой должна находиться горизонтальная прямая $b= b0$ , чтобы иметь единственную точку пересечения с $S$ на отрезке $x ∈[−2;2].$ Если обозначить $bI$ — ордината точки $I$ , то нам подходят $b∈ (− ∞;bA]∪ {bB} ∪(bC;+∞ ).$

$bA = b(−2)= 4− 8− 3= − 7;$

$bB = b(1)= 1+ 4+ 6= 11;$

$bC = b(2)= 4+ 8+ 3= 15.$

Следовательно, $log2(a− 3)∈ (∞;−7]∪ {11} ∪(15;+∞ )$ , откуда $a∈ (− ∞;3 +2−7]∪ {3+ 211}∪ (3 + 215;+∞ ).$

2 способ.

Перепишем уравнение в виде $x3+ 4x2 = x ⋅log(a− 3)− 6 2$ , обозначим $b= log(a− 3), f(x)= x3+ 4x2, g(x)= bx− 6 2$ .

Найдем такие значения $b$ , при которых функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют ровно одну общую точку на отрезке $[−2;2]$ .

$g(x)$ – это прямая (при каждом фиксированном $b$ ), проходящая через точку $(0;−6)$ .

1) Рассмотрим отдельно случай, когда $g(x)$ касается $f(x)$ в точке $xo$ :

({ ′ ({ 2 ({ 2 ({ f (xo)= b ⇒ b = 3xo +8xo ⇒ b= 3xo+ 8xo ⇒ b =11 (x3o+ 4x2o− xo⋅b+ 6= 0 (x3o +2x2o− 3 =0 ( (xo− 1)(x2o +3xo+ 3)= 0 (xo =1

Таким образом, в этом случае обе функции имеют ровно 1 точку пересечения: $xo = 1$ .

$PIC$

$b= 11⇒ log2(a − 3)= 11 ⇒ a= 2051$ .

2) Рассмотрим случай $b ⁄= 11$ (нет точек касания).

Тогда функции будут иметь ровно 1 точку пересечения на $[−2;2]$ , если g(−2)> f(−2) » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-377-61.svg» width=»auto»> (I случай) или <img alt= f(2) » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-377-62.svg» width=»auto»> (II случай):