На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то — зеленые. Все красные числа кратны 8, а зеленые кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, все зеленые числа также отличаются друг от друга. Но между красными и зелеными числами могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 
, если на доске написаны только кратные 3 числа?
б) Может ли на доске быть написано только одно красное число, если сумма всех записанных на доске чисел равна 1066?
в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть написано на доске, если сумма всех чисел равна 1066?
а) Заметим, что среди красных чисел также могут встречаться числа, кратные 3. Например, число 24 может встретиться в списке два раза: один раз как красное, второй — как зеленое.
Так как 
и чисел 3, 6, …, 90 — ровно тридцать штук, и они все кратны 3, то уберем из них, например, число 90, а вместо него возьмем число 24 (которое будет красным). Тогда мы получим 29 зеленых чисел: 3, 6, …, 87 и одно красное 24 (кратное 3), причем очевидно, что сумма всех чисел будет строго меньше 1395.
Ответ: да, может.
б) Упорядочим зеленые числа по возрастанию. Тогда наименьшее возможное значение первого числа — это 3, второго — это 6 и так далее. Наименьшее значение последнего, тридцатого числа, это 87. Сумма всех этих чисел равна 1305 — и это наименьшее возможное значение суммы 29-ти зеленых чисел. Следовательно, если сумма всех чисел равна 1066, то красное число должно быть отрицательным, что невозможно.
Ответ: нет, не может.
в) Докажем, что наименьшее возможное количество красных чисел — это 7.
Рассмотрим минимальное значение для суммы всех чисел для всех случаев, когда красных чисел от 2 до 6 (то, что на доске не может быть написано одно красное число, мы рассмотрели в пункте б)). Оформим это в таблице:
То есть мы брали самые маленькие зеленые числа и самые маленькие красные числа и общая сумма чисел получалась больше 1066. Следовательно, для любых наборов красных и зеленых чисел, где красных чисел от 2 до 6, общая сумма чисел будет больше, чем 1066.
Итак, мы имеем пример для 6 красных чисел, когда сумма всех чисел (зеленых и красных) равна 1068. Нужно добавить одно красное число и убрать одно зеленое так, чтобы общая сумма чисел стала равна 1066. Для этого нужно убрать одно зеленое число, которое больше добавленного красного числа на 2. Теперь смотрим: если мы добавим красное 56, то нам нужно убрать зеленое 58. Но такого числа среди зеленых нет.
Перебираем дальше: если добавить красное 64, то убрать нужно зеленое 66, которое как раз у нас имеется! Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано 7 красных чисел:
