Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №58

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r%  по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга.
Найдите r  , если известно, что если ежегодно выплачивать по 777600  рублей, то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1 317600  рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года.

Пусть A  рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за t = 1010+0r0-   , x =  777600  и y = 1317600  и составим таблицу для обоих случаев (когда кредит выплачивался 4 года и 2 года):

------------------------------------------------------------------------------ |Н ом ер года |Д олг до начи сления %  |Д олг посл е н ачислен ия % |Пл атеж  | |-------------|------------------------|----------------------------|---------| |1------------|A-----------------------|tA--------------------------|---x-----| |2------------|tA-−-x------------------|t(tA-−-x)-------------------|---x-----| |3------------|t(tA--−-x)-−-x-----------|t(t(tA--−-x) −-x)------------|---x-----| |4            |t(t(tA −  x) − x) − x    |t(t(t(tA −  x) − x ) − x )   |   x     | ------------------------------------------------------------------------------
Тогда после последнего платежа долг будет равен
                                                                                   2 t(t(t(tA  − x) − x) − x) − x = 0   ⇔    t4A =  x(t3 + t2 + t + 1)  ⇒    A =  x(t-+-1)(t-+-1)-  (∗ )                                                                                  t4
|-------------|------------------------|----------------------------|---------| |Н-ом-ер-года-|Д-олг-до-начи-сления-%--|Д-олг-посл-е н-ачислен-ия-%-|Пл-атеж--| |1            |A                       |tA                          |   y     | |2------------|tA-−-y------------------|t(tA-−-y)-------------------|---y-----| ------------------------------------------------------------------------------|
Тогда после последнего платежа долг будет равен
t(tA  − y) − y = 0   ⇔    t2A = y (t + 1)   ⇒    A =  y(t +-1)  (∗∗)                                                        t2
Приравняем правые части уравнений (∗ )  и (∗∗)  :
x (t + 1)(t2 + 1)   y(t + 1 )       x(t2 + 1) -------t4-------=  ---t2---   ⇒    ---t2----=  y
Сделаем подстановку и найдем t  :
       x           777600         7776 t2 = ------= ------------------ = ----- = 1,44      y − x   1317600  − 777600    5400
Тогда
    ∘ ----- t =   1,44 =  1,2   ⇒    r = 20.

Оцените статью
Я решу все!