Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №56

Решите неравенство

                             8 log3(81x)-+ log3x−-4-≥ 24−2log3(x)- log3x− 4   log3(81x)    log3x − 16

Найдем ограничения логарифмов: x> 0.  » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1000-1.svg» width=»auto»> </p>
<p class= Сделаем замену log3x =t.  Тогда при ограничениях выше имеем:

                                    8 log3(81x)= log3(81)+log3x= 4+ t, log3(x )= 8log3x = 8t

Тогда исходное неравенство примет вид

4+ t  t− 4   24 − 8t t−-4 + 4+-t ≥ t2−-16    -2t2+-8t+-8-≥ 0   (t− 4)(t+ 4)     2(t +2)2   (t−-4)(t+-4) ≥ 0

Решим последнее неравенство методом интервалов:

PIC

Таким образом, решением будут

t∈(− ∞;−4)∪ {−2}∪ (4;+ ∞)

Сделаем обратную замену:

⌊                ⌊x < 1-  log3x< −4       ||    81 |⌈log3x= −2   ⇒   ||x = 1  log3x> 4        |⌈    9                   x >81 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1000-7.svg» width=»auto»></div>
<p class= Учитывая x> 0,  » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1000-8.svg» width=»auto»> получаем </p>
<div class=    (  1-)  { 1} x∈  0;81  ∪  9  ∪(81;+ ∞)
Оцените статью
Я решу все!