На доске написано несколько различных натуральных чисел, причем известно, что произведение любых двух из них больше 40, но меньше 100.
а) Может ли на доске быть написано 5 чисел?
б) Может ли на доске быть написано 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их количество равно 4?
а) Предположим, что может быть написано 5 чисел. Расположим их в порядке возрастания:
Тогда произведение двух наименьших Пусть
тогда 
Пусть 
Следовательно, осталось подобрать еще одно число 
причем оно должно быть больше 7, но меньше 9. Возьмем, например, 8. Таким образом, мы получили 5 чисел:
б) Предположим, что может быть написано 6 чисел. Расположим их в порядке возрастания:
Тогда произведение двух наибольших 
Отсюда можно сделать вывод, что 
Это так, поскольку если 
то 
и их произведение 
Произведение двух наименьших 
Это так, поскольку если 
то 
следовательно, их произведение 
Таким образом, на отрезке ![[7;9]](/images/math/answer/answer-931-22.svg)
должны быть расположены четыре натуральных числа
Это невозможно, так как на этом отрезке только три натуральных числа.
в) Пусть на доске написаны 4 числа, расположим их также в порядке возрастания:
Аналогично предыдущему пункту можно сделать вывод, что 
Следовательно, 
и 
могут принимать значения 7, 8 или 9.
Пусть 
Тогда 
может быть равно только 6, потому что иначе произведение 
будет меньше 40. Максимальное значение для 
— это 12.
Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел равна
Пусть 
Аналогично 
Максимальное значение для 
— это 11.
Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел равна
Пусть 
Тогда максимальное значение для 
— это 7. Максимальное значение для 
— это 11.
Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел равна
Так как мы рассмотрели все возможные случаи, то максимальная сумма чисел равна 35.