Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №52

а) Проведем Так как — средняя линия в то

Также Следовательно, — параллелограмм. Значит,

Заметим, что точка лежит на отрезке поскольку высота находится между медианой и стороной так как

Проведем отрезок Так как прямоугольный и один из острых углов равен то он равнобедренный. Тогда отрезок не только медиана в нем, но и высота. Следовательно, также прямоугольный и один из его углов равен отсюда

Таким образом,

Значит, около четырехугольника можно описать окружность. Это и значит, что точки лежат на одной окружности.

б) По теореме синусов в имеем:

Обозначим Тогда Тогда по теореме Пифагора из

Далее заметим, что

Значит, имеем уравнение

Тогда длина отрезка равна 1.