Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №51

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

2 2 2 log2 (25− x )− 7log2(25− x )+ 12 ≥ 0

Сделаем замену: $log2(25− x2) =t.$ Тогда неравенство примет вид

2 t − 7t+12 ≥0

Корнями уравнения $t2 − 7t+ 12= 0$ являются числа 3 и 4. Следовательно, неравенство равносильно

[t≤ 3 (t− 3)(t− 4)≥ 0 ⇔ t≥ 4

Сделаем обратную замену.

1) Первое неравенство совокупности:

2 log2(25 − x )≤ 3 log2(25− x2) ≤log28 2 0< 25− x ≤8

Решением неравенства 25− x2 > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-928-6.svg» width=»auto»> является </p>
<div class= $x∈ (−5;5)$

Решением неравенства $25− x2 ≤ 8$ является

( ] [ ) x∈ −∞; −√17- ∪ √17;+ ∞

Пересекая эти решения, получим

( √--] [√ -- ) x ∈ −5;− 17 ∪ 17;5

2) Второе неравенство совокупности:

log2(25 − x2)≥ 4 2 log2(25− x )≥ log216 25− x2 ≥ 16 x ∈[−3;3]

Объединенив решения первого и второго неравенств, окончательно получим

( √--] [√ -- ) x∈ −5;− 17 ∪ [− 3;3]∪ 17;5