Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №5

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

∘------------ 2 15x2+ 6ax+ 9= x + ax +3

имеет ровно три различных решения.

Данное уравнение равносильно системе

{ 2 2 2 15x + 6ax+ 9= (x + ax+ 3) x2+ ax+ 3≥ 0

Рассмотрим первое уравнение системы:

15x2+ 6ax+ 9= (x2+ ax+ 3)2 2 2 2 x (x + 2ax+ a − 9)= 0 x2(x +a − 3)(x+ a+ 3)= 0

Таким образом, это уравнение имеет три корня:

x1 = 0, x2 = 3− a, x3 =− 3− a

Для того, чтобы вся система имела три различных корня, необходимо выполнение двух условий:

1) $x1 ⁄= x2 ⁄= x3.$ Следовательно, $a⁄= −3;3.$

2) $2 2 2 x1+ ax1+ 3≥ 0, x2 +ax2+ 3 ≥0, x3+ ax3 +3 ≥ 0.$ Следовательно, $a∈ [− 4;4].$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных решения при

a∈ [− 4;− 3) ∪(−3;3)∪(3;4]