Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №49

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $8x− 9⋅2x+1+ 25−x =0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[log5 2;log5 20].$

а) Найдем ОДЗ: $x ∈ℝ.$

Сделаем замену $t =2x,$ t >0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-926-3.svg» width=»auto»> Тогда уравнение примет вид: </p>
<div class= $5 t3− 9⋅2t+ 2- =0 t$

Так как $t> 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-926-5.svg» width=»auto»> то можно умножить правую и левую части последнего уравнения на <img decoding=$

t4− 18t2+ 32= 0

Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета находим $t2 = 16$ и $t2 =2.$

С учетом $t> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-926-10.svg» width=»auto»> получаем <img decoding=$ и $√- t= 2.$

Сделаем обратную замену: $x 2 =4$ и $x √- 2 = 2,$ откуда $x = 2$ и $1 x= 2.$

б) Заметим, что $1 √ - 2 = log5 5$ и $2= log525.$ Тогда с учетом возрастания функции $y = log5x$ только $√- log5 5$ принадлежит отрезку $[log52;log520],$ так как $√ - 2 < 5< 20$ и $2 <20 < 25.$