Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №48

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения $a$ , для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел $x$ и $y$ , удовлетворяющих неравенству

∘ -------- 4|x + 3| + 3|x − a| ≤ 16 − y2 + 2

Рассмотрим две функции $f (x) = 4|x + 3 | + 3|x − a|$ и $∘ -------- h(y) = 16 − y2 + 2$ .

Заметим, что при $x < − 3$ модуль $|x + 3| = − x − 3$ , а при $x > − 3 » class=»math» width=»auto»> модуль <img decoding=$ . Следовательно, вне зависимости от того, как раскроется модуль $|x − a|$ , при $x < − 3$ коэффициент перед $x$ у функции $f(x )$ будет отрицательным (а именно -7 или -1), а при $x > − 3 » class=»math» width=»auto»> он будет положительным (а именно 1 или 7). Следовательно, <img decoding=$ имеет минимум в точке $x = − 3$ . Это значит, что $f (x) ≥ f(− 3)$ при всех $x$ .

Так как $2 y ≥ 0$ при всех $y$ и по ОДЗ $2 16 − y ≥ 0$ , то $√ -- ∘ ------2- √ --- 0 ≤ 16 − y ≤ 16$ , значит, функция $h (y ) ∈ [2;6]$ при всех $y$ .
Таким образом, если $f (− 3 ) > 6 » class=»math» width=»auto»>, то неравенство <img decoding=$ не имеет решений, так как левая часть больше $6$ , а правая – меньше или равна $6$ .
Следовательно, $f(− 3) ≤ 6$ . При этом нам подходит как минимум одна пара чисел: $x = − 3$ и $y = 0$ (Проверьте!).
Так как $f (− 3) = 3| − 3 − a| = 3|a + 3|$ , то получаем:

3|a + 3| ≤ 6 ⇔ a ∈ [− 5;− 1].