Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №46

Просмотров 5 Комментарии 0

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами $O1$ и $O2$ соответственно касаются в точке $A.$ Прямая, проходящая через точку $A,$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $B,$ а большую – в точке $C.$ Найдите площадь выпуклого четырехугольника, вершинами которого являются точки $O1,$ $O2,$ $B$ и $C,$ если $∠ABO1 = 15∘.$

Данная задача имеет два случая: когда окружности касаются внутренним образом и когда внешним.

1) Пусть окружности касаются внешним образом. Тогда нужно найти площадь четырехугольника $BO2CO1$ .

$PIC$

Заметим, что $△BO1A$ равнобедренный ( $BO1 =O1A$ как радиусы), следовательно, $∠BO1A =180∘− 2⋅15∘ = 150∘$ . Проведем $BH ⊥ O1A$ . Тогда $∘ ∠BO1H =30$ . Следовательно, $1 3 BH = 2BO1 = 2$ .
Так как $BH$ — высота $△BO1O2$ , опущенная к $O1O2$ , то

SBO O = 1BH ⋅O1O2. 1 2 2

Заметим, что $△CO2A ∼ △BO1A$ по трем углам ( $∠BAO1 =∠CAO2 = 15∘$ как вертикальные, $△CO2A$ тоже равнобедренный). Следовательно, если провести $CK ⊥ AO2$ , то $∠CO2K = 30∘$ и $CK = 12CO2 = 52$ . Тогда

1 SCO2O1 = 2CK ⋅O1O2

Следовательно,

1 1 (3 5) SBO2CO1 = SBO1O2 + SCO1O2 = 2O1O2⋅(BH + CK)= 2 ⋅(3+ 5)⋅ 2 + 2 = 16.

2) Пусть окружности касаются внутренним образом. Тогда необходимо найти площадь четырехугольника $BO1O2C$ .

$PIC$

Аналогично $△BO1A ∼ △CO2A$ и оба равнобедренные, следовательно, если $BH ⊥ AO2$ , то $1 3 BH = 2BO1 = 2$ , так как $∘ ∠BO1A = 150$ ; а также $CK = 1CO = 5 2 2 2$ .

SBO1O2C =SACO2 − SABO1 = 1CK ⋅AO2− 1BH ⋅AO1 = 1⋅ 5 ⋅5 − 1 ⋅ 3⋅3= 4. 2 2 2 2 2 2