Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №45

Просмотров 5 Комментарии 0

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами $O1$ и $O2$ соответственно касаются в точке $A.$ Прямая, проходящая через точку $A,$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $B,$ а большую — в точке $C.$ Найдите площадь треугольника $BCO2,$ если $∠ABO1 = 15∘.$

Данная задача имеет два случая: когда окружности касаются внутренним образом и когда внешним.

1) Пусть окружности касаются внешним образом.

$PIC$

Заметим, что $△BO1A$ равнобедренный ( $BO1 =O1A$ как радиусы), следовательно, $∠BO1A =180∘− 2⋅15∘ = 150∘$ . Проведем $BH ⊥ O1A$ . Тогда $∘ ∠BO1H =30$ . Следовательно, $1 3 BH = 2BO1 = 2$ .
Так как $BH$ — высота $△BAO2$ , опущенная к $AO2$ , то

SBAO = 1BH ⋅AO2. 2 2

Заметим, что $△CO2A ∼ △BO1A$ по трем углам ( $∠BAO1 =∠CAO2 = 15∘$ как вертикальные, $△CO2A$ тоже равнобедренный). Следовательно, если провести $CK ⊥ AO2$ , то $∠CO2K = 30∘$ и $CK = 12CO2 = 52$ . Тогда

1 SCO2A =2CK ⋅AO2

Следовательно,

1 1 ( 3 5) SBCO2 =SBAO2 +SCAO2 = 2AO2⋅(BH + CK)= 2 ⋅5⋅ 2 + 2 = 10.

2) Пусть окружности касаются внутренним образом.

$PIC$

Аналогично $△BO1A ∼ △CO2A$ и оба равнобедренные, следовательно, если $BH ⊥ AO2$ , то $1 3 BH = 2BO1 = 2$ , так как $∘ ∠BO1A = 150$ ; а также $CK = 1CO = 5 2 2 2$ .

( ) SBCO2 =SACO2 − SABO2 = 1CK ⋅AO2− 1BH ⋅AO2 = 1AO2⋅(CK − BH )= 1 ⋅5 ⋅ 5− 3 = 5 2 2 2 2 2 2 2