Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №43

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $---si(n2x-)- √- cos π-+x = 3. 2$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π;−π . 2$

а) По формуле приведения $cos(π-+x) = − sinx 2$ , а также по формуле синуса двойного угла $sin 2x= 2sin xcosx$ , следовательно, имеем:

$√- √ - 2sinxcosx √ - 2sin-xcosx+--3-sinx sinx(2cosx+---3)- − sinx = 3 ⇔ sinx = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔$

$( ||| s⌊inx ⁄= 0 √- { sinx= 0 -3- 5π- ⇔ ||| |⌈ √3- ⇔ cosx= − 2 ⇔ x= ± 6 + 2πn,n∈ ℤ. ( cosx =− -2-$

б) Отберем корни.

$− 5π ≤ 5π +2πn ≤ −π ⇔ − 5 ≤n ≤ − 11 ⇒ n= −1 ⇒ x= − 7π-. 2 6 3 12 6$

$− 5π ≤ − 5π + 2πn≤ −π ⇔ − 5 ≤ n≤ − 1 ⇒ n ∈∅ ⇒ x∈ ∅. 2 6 6 12$