Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №41

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение $3⋅9x−0,5− 7⋅6x+ 3⋅4x+1 = 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[2;3].$

а) Перепишем данное уравнение в виде:

3⋅9x⋅-1-−7⋅(2⋅3)x+3⋅4x⋅41 = 0 ⇔ 3⋅9x−7⋅2x⋅3x+12 ⋅4x = 0 ⇔ 32x−7⋅2x⋅3x+12⋅22x = 0 90,5 3

Данное уравнение является однородным второй степени. Разделим обе части уравнения на не равное нулю выражение $22x$ :

( )2x ( )x 32x− 7⋅ 3x +12 = 0 ⇔ 3 − 7 ⋅ 3 + 12 = 0 22x 2x 2 2

Сделаем замену $( 3)x t = 2$ , тогда уравнение сведется к квадратному:

t2 − 7t+ 12= 0 ⇒ t1 = 3 и t2 = 4.

Сделаем обратную замену:

( )x ( )x ( )log 3 3 =3 ⇔ 3 = 3 32 ⇔ x= log33. 2 2 2 2 ( )x ( )x ( )log34 3 =4 ⇔ 3 = 3 2 ⇔ x= log34 2 2 2 2

б) Заметим, что $2 ≤ log33 ≤ 3 2$ равносильно $9 ≤3 ≤ 27 4 8$ (так как основание логарифма $3 2 > 1 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-835-9.svg» width=»auto»>). Данное неравенство является верным, следовательно, корень <img decoding=$ принадлежит данному отрезку $[2;3]$ .

Аналогично неравенство $2 ≤ log32 4 ≤ 3$ равносильно $9 27 4 ≤ 4≤ 8$ , что неверно, следовательно, корень $x = log32 4$ не принадлежит данному отрезку $[2;3]$ .