Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №40

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $-1--− -3--+2 =0. sin2x sinx$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ ] − 52π;− π .$

а) Сделаем замену $-1--=t sinx$ , тогда уравнение примет вид

t2− 3t+ 2= 0 ⇒ t1 = 2 и t2 = 1

Сделав обратную замену, получим

1 sin x= 2 и sinx = 1

Решениями данных уравнений являются

x= π +2πn; x = 5π+ 2πm и x= π + 2πk; n,m,k ∈ℤ. 6 6 2

б) Отберем корни.

$5π π 4 7 11π − 2-≤ 6 +2πn≤ −π ⇔ − 3 ≤ n≤ −12 ⇒ n= −1 ⇒ x= −-6-.$

$5π 5π 5 11 7π- − 2 ≤ 6 + 2πm ≤− π ⇔ − 3 ≤ m ≤ −12 ⇒ m= −1 ⇒ x= − 6 .$

$− 5π≤ π +2πk≤ −π ⇔ − 3≤ k≤ − 3 ⇒ k= −1 ⇒ x= − 3π. 2 2 2 4 2$